European Journal of Education Studies
ISSN: 2501 - 1111
ISSN-L: 2501 - 1111
Available on-line at: www.oapub.org/edu
10.5281/zenodo.495243
Special Issue - Basic and Advanced Concepts, Theories and Methods
Applicable on Modern Mathematics Education
LA MATEMATICA: UNA BELLA STORIA DA RACCONTARE E
DA CREARE GIOCANDOi
Martena Paolo1ii,
Spina Marta2
I.C. Serra , Crescentino Vercelli , Italy
1
Autore indipendente, Italy
2
Abstract:
It’s not unusual for educators to look for riveting and funny ways to teach Mathematics,
a subject which is often perceived by students as abstruse and totally detached from
reality. Among the alternative approaches which combined with the traditional didactic
method proved effective are:
Empirical approach
Instead of having the concept explained by the educator, the students are
provided with the data necessary to get to the concept by themselves.
The main aim of this didactic strategy is to promote ingenuity and
resourcefulness as well as active participation and collaboration among students.
Historical approach
The students are instructed on the historical context in which mathematicians
and scientists developed their theories and then asked to reproduce the line of
reasoning which led them to their discoveries. The depth of the historical
analysis and the difficulty of the elaboration requested depend on the
educational level of the students.
On the occasion of Pi-Day, these two approaches have been employed in a
project organized by some 8th grade students, with the help of their Math’s teacher.
The project consisted of didactic activities whose aim was to explain the history and the
importance of the most famous irrational number. These included:
i
ii
A play about the discovery and history of π
A Mathematics competition in teams;
MATH: A WONDERFUL STORY TO BE TOLD AND CREATED WHILE PLAYING
Correspondence: email paolo.martena@libero.it
Copyright © The Author(s). All Rights Reserved
Published by Open Access Publishing Group ©2015.
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Martena Paolo, Spina Marta LA MATEMATICA: UNA BELLA STORIA DA RACCONTARE E DA CREARE GIOCANDO
A buffet and prize giving ceremony.
Keywords: competence math games problem solving π day history of mathematics
Sommario
Spesso si cercano strategie per rendere coinvolgente la matematica: una materia che
risulta ostica per molti studenti, fin dai primi anni di scuola. Esistono diversi approcci
per l’apprendimento di questa disciplina, otre a quello tradizionale un percorso per
competenze che ha lo scopo di preparare gli alunni a situazioni sfidanti in cui mettere a
frutto tutte le loro capacità, un approccio storico che mira a far conoscere agli alunni i
nomi dei grandi scienziati e i percorsi che li hanno condotti ad approfondire alcune
tematiche e a validare le loro intuizioni, un approccio ludico che incrementi la
motivazione e la collaborazione.
In questo articolo gli autori, dopo aver indagato riguardo all’efficacia di queste tre
metodologie, descrivono un interessante progetto messo a punto in una scuola media
italiana. L’occasione è stata la giornata internazionale del p greco (p – day): la comunità
scientifica internazionale, infatti, festeggia ogni anno il numero irrazionale più
importante per la scienza. I ragazzi di una terza media sono stati invitati dal loro
insegnante di matematica a organizzare una giornata divulgativa destinata a tutti i
compagni della stessa fascia di età presenti nella scuola.
L’evento è stato organizzato con molta attenzione e ha incluso una rappresentazione
teatrale, dei giochi matematici a squadre, un buffet e la premiazione. I giochi
matematici somministrati sono stati messi a punto da un gruppo di ex alunni della
scuola, che sono impegnati in studi universitari scientifici, in collaborazione con i
docenti di area matematica e scientifica dell’Istituto. Il successo di questa metodologia,
sia dal punto di vista didattico che da quello educativo, la rendono un esempio di
buona pratica che deve essere documentata e condivisa.
Key words: competenza; giochi di matematica; risoluzione di problemi; il giorno di π;
storia della matematica
1. Premessa
La pratica scolastica quotidiana rivela che numerosi studenti incontrano molte difficoltà
nello studio e nell’apprendimento della matematica fin dalla giovane età. Spesso si
rivelano disinteressati, probabilmente perché non la trovano avvincente o perché non
ne riscontrano la reale utilità nella vita quotidiana.
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È per questo che, come addetti ai lavori, cerchiamo continuamente nuove
strategie che migliorino, non solo le competenze matematiche, ma anche tutte le altre
competenze chiave.
Esse sono una combinazione di conoscenze, abilità e attitudini appropriate al
contesto. In particolare, sono necessarie per la realizzazione e lo sviluppo personali, la
cittadinanza attiva, l’inclusione sociale e l’occupazione.
Le competenze chiave sono essenziali in una società della conoscenza e
assicurano maggior flessibilità ai lavoratori per adattarsi in modo più rapido a un
mondo in continuo mutamento e sempre più interconnesso. Inoltre, tali competenze
sono un fattore di primaria importanza per l’innovazione, la produttività e la
competitività e contribuiscono alla motivazione e alla soddisfazione dei lavoratori e alla
qualità del lavoro.
Le competenze chiave dovrebbero essere acquisite:
dai giovani alla fine del loro ciclo di istruzione obbligatoria e formazione,
preparandoli alla vita adulta, soprattutto alla vita lavorativa, formando allo
stesso tempo una base per l’apprendimento futuro
dagli adulti in tutto l’arco della loro vita, attraverso un processo di sviluppo e
aggiornamento delle loro abilità.
Le competenze chiave individuate sono:
la comunicazione nelle lingue straniere;
tecnologico;
imparare ad imparare;
il senso di iniziativa e di imprenditorialità;
la comunicazione nella madrelingua;
la competenza matematica e le competenze di base in campo scientifico e
la competenza digitale;
le competenze sociali e civiche;
consapevolezza ed espressioni culturali.
L’acquisizione delle competenze matematiche può essere particolarmente
efficace se la programmazione matematica è inserita un sistema progettuale più
complesso in cui approcci diversi sono integrati dagli educatori con lo scopo di
aumentare le conoscenze e le competenze degli alunni, non solo nell’area matematica,
ma anche in tutti gli altri settori della vita quotidiana.
Di seguito sono indicati alcuni approcci particolarmente utili per l’acquisizione
delle competenze chiave e, in particolare di quelle matematiche, scientifiche e
tecnologiche.
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1.1 La didattica per progetti
La didattica per progetto è una metodologia che ha riscosso un discreto successo, ma
che raramente è stata applicata allo studio della matematica.
Numerosi sono stati, infatt,i i progetti ambientali, sociali, civili che sono stati
messi a punto e realizzati, ma pochi quelli che avessero come competenza focus da
sviluppare quella matematica.
Eppure è proprio avvicinando la matematica alla vita di tutti i giorni, che gli
alunni potrebbero riscoprirne il valore e apprenderla meglio, perché questo
incrementerebbe la loro motivazione.
Ecco perché la didattica per progetto appare, non solo affine al modello didattico
per competenze, ma anche utile per l’apprendimento della matematica.
Progettare a scuola vuol dire sottoporre tutte le scelte a verifica empirica. Nel progetto
infatti, gli obiettivi educativi e didattici si materializzano in un prodotto concreto e
tangibile, che è cosa diversa dal prodotto di apprendimento.
(Quartapelle 1999)
Ovviamente, per realizzare un prodotto, ocorre mobilitare, non solo la
competenza focus, che nel nostro caso è quella matematica, ma anche una serie di
competenze accessorie. La complessità della realtà, infatti, conduce all’attivazione di
più capacità, conoscenze e abilità contemporaneamente.
Questa strategia didattica ha avuto origine all’inizio del secolo scorso.
Nel
W.H. Kilpatrick, infatti, accolta l’istanza di Dewey sull’insegnamento
come formazione della personalità dello studente, propose di impostare tutto il lavoro
scolastico come percorso progettuale.
Secondo l’autore, gli studenti sono chiamati a porsi problemi reali, a scegliere
percorsi opportuni per risolverli e ad operare concretamente fino ad ottenere il risultato
finale.
In questo contesto la figura dell’insegnante esce dall’ambito strettamente
disciplinare ed assume il ruolo di educatore che si preoccupa del coordinamento, del
controllo e della valutazione del lavoro.
In corso d’opera, inoltre, si occupa di guidare la messa a punto delle variazioni e
di occuparsi degli interventi di sostegno.
Questo metodo didattico non è stato mai dimenticato.
Attualmente, è stato nuovamente rivalutato, in quanto ha costituito il senso nel
quale si sono sviluppate le Unità di Apprendimento ed è uno dei modelli didattici che
maggiormente favoriscono la costruzione di competenze (Maccario, 2006)
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I vantaggi della didattica per progetti possono essere così riassunti:
procedure e valutazione;
partecipazione attiva dello studente nelle scelte e le decisioni rispetto a contenuti,
negoziazione di contenuti e procedure; senso di appartenenza verso il prodotto;
interazione con il mondo "di fuori" durante la realizzazione.
Il lavoro per progetti può essere suddiviso in 3 fasi principali. Nella prima
vengono definiti gli obiettivi del progetto e si elabora un metodo condiviso per
raggiungerli. Si pone, successivamente, l’attenzione sui mezzi che si hanno a
disposizione e si programma la gestione delle risorse economiche, strutturali e umane.
La seconda fase della metodologia riguarda la realizzazione vera e propria del
lavoro e il suo monitoraggio con vari strumenti, compresa la discussione in classe. In
corso d’opera, il progetto potrebbe subire delle modifiche.
La terza fase spetta alla valutazione del prodotto ottenuto e alla presentazione
dei risultati. E’ importante che, in fase valutativa, venga data importanza, non solo al
punto di vista dell’insegnante, ma anche a quello degli studenti e degli altri fruitori del
progetto.
Il
lavoro
può
essere
giudicato
positivamente
per
quanto
riguarda
l’apprendimento soltanto se
prevede una produzione concreta da parte della classe ha significato per gli
allievi;
un progetto aperto;
prevede la partecipazione attiva e responsabile degli alunni; si configura come
attiva dinamiche collaborative nella classe; utilizza le discipline come risorse;
favorisce, il più possibile, lo sviluppo integrale della persona.
1.2 La storia della matematica a scuola
Un altro aspetto della matematica che dovrebbe essere valorizzato è la sua storia.
Didattica, storia ed epistemologia della disciplina dovrebbero innescare in circolo
virtuoso che permetta una comprensione più completa delle scienze matematiche
(Grugnetti, Speranza, 2000).
Sebbene questo tipo di approccio sia particolarmente adatto alla scuola
secondaria di secondo grado, può essere interessante il suo anticipo anche nella scuola
media per molteplici motivi.
Uno di questi è la tradizione storico umanistica del nostro Paese: gli studenti
sviluppano conoscenze e competenze in questo settore che possono essere utilizzate
anche in altre discipline.
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Un’altra ragione è la necessità di offrire agli alunni modelli positivi di
riferimento. In questa fascia d’età, infatti, i ragazzi scoprono le loro attitudini e iniziano
a impegnarsi nella costruzione e nella realizzazione del loro progetto di vita.
Infine, l’approccio storico ai problemi matematici fa in modo che i giovani
studenti comprendano l’importanza di apprendere in modo critico e di formulare e
verificare ipotesi.
È questo il primo passo verso discussioni che porteranno gli alunni a produrre
solide argomentazioni matematiche e a prendere confidenza con il metodo ipotetico
deduttivo che sarà alla base delle dimostrazioni, nei cicli scolastici successivi.
Uno studio completo della storia della matematica, tuttavia, sarebbe troppo
complesso e richiederebbe un’analisi della genesi del pensiero che i preadolescenti
difficilmente riuscirebbero a realizzare.
Pertanto, sembra opportuno usare, soprattutto, due principali strategie
didattiche a questo scopo:
Raccontare le scoperte di alcuni scienziati, come Pitagora e farle rappresentare
agli alunni, mediante scenette, disegni o video, oppure festeggiare eventi e
ricorrenze che ne ricordino l’operato
Porre ai ragazzi gli interrogativi che si ponevano gli scienziati e, dopo aver dato
gli strumenti teorici e pratici che possedevano all’epoca, invitarli a risolvere in
gruppo questi problemi. Dalla discussione matematica seguente, emergeranno
analogie e differenze con il pensiero degli scienziati presi in considerazione, si
correggeranno eventuali errori e misconcezioni e si costruirà la conoscenza
matematica
2. Il Progetto P - day: un esempio di didattica efficace e trasversale
2.1 Contesto
Riportiamo, di seguito, un esempio di buona pratica didattica, in cui si possono
ritrovare le metodologie didattiche descritte.
Il progetto è stato realizzato presso la scuola secondaria di I grado dell’Istituto
Comprensivo di Crescentino, Vercelli, Italia e ha coinvolto tutte le classi terze,
nonostante solo la D venti alunni sia stata impegnata nell’organizzazione.
La classe organizzatrice è un ambiente molto eterogeneo in cui sono inclusi
anche due alunni con disabilità: un ragazzo affetto da autismo e uno con deficit
cognitivo. Il livello di provenienza socio – culturale degli alunni è medio basso: questa
zona d’Italia ha risentito molto della crisi economica.
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Una didattica di questo tipo ha avuto come principale scopo quello di
incrementare la motivazione degli alunni e stimolarli a relazionarsi con il mondo
creando progetti e iniziative interessanti da un punto di vista sociale e culturale.
2.2 La descrizione del progetto
Il progetto ha previsto una programmazione iniziale molto seria e attenta da parte dei
Consigli di Classe delle classi coinvolte, mirata allo sviluppo di molteplici competenze.
E’ stata indispensabile la collaborazione di tutti i colleghi.
Gli alunni sono stati invitati a organizzare una giornata per celebrare il numero
irrazionale del p greco.
Questo numero è da anni oggetto di studio ed è così importante per la
matematica e le scienze in generale che la comunità scientifica internazionale lo
festeggia il 14 Marzo di ogni anno.
La prima celebrazione del "Pi Day" si tenne nel 1988 all'Exploratorium di San
Francisco, per iniziativa del fisico statunitense Larry Shaw, in seguito insignito del titolo
di "Principe del pi greco".
Il fine di queste attività è stato quella di sviluppare la competenza chiave: spirito
di iniziativa, insieme alle competenze matematiche e ad altre competenze correlate.
Oltre allo sviluppo di queste capacità, il progetto è partito per rispondere alle
seguenti esigenze formative:
1. Avvicinare gli studenti ai numeri irrazionali;
2. Necessità di far comprendere agli alunni l’importanza della ricerca costante
3. Coinvolgimento in un progetto di valenza divulgativa;
4. Valorizzazione delle diversità;
5. Utilizzo delle conoscenze scolastiche in modo significativo e realisticamente
valutabile;
6. Collegamento e rafforzamento della collaborazione fra scuola, famiglie e
comunità locale.
Il progetto descritto ha coinvolto molti docenti che hanno, in parte, modificato la
loro programmazione annuale. Il tempo impiegato a questo scopo è stato di due mesi.
Per quanto riguarda la matematica e l’italiano, le ore impiegate sono state circa
per
disciplina, le altre materie coinvolte hanno dedicato al progetto un numero di ore più
esiguo.
Durante le ore di matematica i ragazzi, dopo essere stati introdotti, mediante
un’esperienza empirica alla costante irrazionale oggetto di studio, si sono documentati
riguardo alla storia del p greco e ne hanno tracciato le tappe salienti. Questo è stato il
puto di partenza per parlare degli insiemi dei numeri e delle loro caratteristiche.
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Durante le ore di scienze è stata evidenziata l’importanza di questo numero per
l’idraulica e la fisiologia vegetale.
Con l’aiuto dell’insegnante di lettere, grazie alle informazioni acquisite, è stata
scritta e realizzata una scenetta divulgativa per il giorno dell’evento.
La scenografia è stata messa a punto durante le lezioni di arte.
Grazie alle nozioni sui solidi acquisite nel corso di geometria, sotto la
supervisione dell’insegnante di tecnologia, gli alunni si sono cimentati anche nella
costruzione di una casetta di legno funzionale ai giochi previsti per la giornata
commemorativa.
. L’evento
La giornata si è svolta in tre fasi:
rappresentazione teatrale sulla storia del p greco;
giochi matematici a squadre;
buffet e premiazione
I ragazzi sono stati preventivamente suddivisi dall’equipe degli insegnanti di
matematica in gruppi eterogenei per livello.
“d ogni gruppo è stata somministrata una serie di esercizi da svolgere in un’ora
di tempo. I test sono stati messi a punto da un gruppo di ex alunni della scuola che
frequentano corsi di laurea scientifici, sotto la supervisione degli insegnanti di
matematica.
Questa scelta ha avuto lo scopo di mettere in comunicazione la realtà scolastica
con quella locale, ma anche quello di creare una sorta di continuità formativa e di offrire
modelli positivi per i pre-adolescenti.
Il test consisteva in 8 quesiti: 4 di geometria e 4 di aritmetica e algebra. Ogni
quesito valeva 10 punti. Un punteggio bonus era attribuito in base al tempo di
consegna, per un massimo di 100 punti totali.
I test sono elencati di seguito.
Quesito 1
Tradurre la seguente frase in un’espressione e calcolarla
Moltiplica 2 per il
quadrato di 7 e sottrai il prodotto di 3 per il quadrato di 2. Quindi moltiplica il risultato
per 2".
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Quesito 2
Data la seguente figura, calcolarne l’area Figure 1).
Fig. 1
Figure 1
Quesito 3
Calcolare il valore assegnato a rinoceronte, scimmia, pinguino e rana (Figure 2)
Figure 2
Quesito 4
Risolvere la seguente espressione letterale e fornire quindi sia risultato letterale
che quello nel caso in cui a=1, b=0 e c=-1.
3a 8b 6c 9a 7b c 3 a 3b 6 c 0
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Quesito 5
La somma di due angoli alla circonferenza è pari a
° e sono uno i ¾ dell’altro.
Calcolare l’ampiezza dei rispettivi angoli al centro. Fornire insieme al risultato
un disegno della circonferenza e dei 4 angoli.
Quesito 6
Gabriele ha comperato un nuovo frigorifero. Per portarlo in cucina usa un
carrello, come rappresentato nella figura (Figure 3). Quale espressione ti
permette di calcolare la massima distanza dal suolo del punto B quando il
frigorifero è trasportato sul carrello? Riuscirà Gabriele a passare attraverso una
porta alta 210 cm?
Figure 3
Quesito 7
In un lungo viaggio in treno tre passeggeri della stessa carrozza ordinano da
mangiare delle patate bollite, pagando in anticipo. Poi, stanchi del viaggio, si
addormentano e mentre dormono, il cameriere porta le patate. Dopo un po’ di
tempo il primo viaggiatore si sveglia, mangia un terzo delle patate e si
riaddormenta. Dopo mezz’oretta si sveglia il secondo viaggiatore che, non
sapendo che il primo si è già servito, mangia un terzo delle patate rimaste e si
riaddormenta. Dopo un’altra mezz’ora si sveglia il terzo passeggero che, non
sapendo che gli altri due si erano già serviti, prende un terzo delle patate,
lamentandosi tra sé e sé della scarsezza delle porzioni. Poi il treno si ferma e i
passeggeri scendono, lasciando sul piatto otto patate. Quante patate c’erano
all’inizio?
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Quesito 8
Si versa 1 litro di acqua in ognuno dei contenitori qui rappresentati (Figure 4). In
quale contenitore l’acqua raggiungerà il livello più alto? Fornire una spiegazione
al risultato:
Fig.4
Figure 4
(Suggerimento: il volume del cilindro è V=πr2h)
I quesiti richiedevano non solo l’acquisizione delle nozioni di base e l’abilità di
calcolo, ma anche capacità logiche per far fronte a situazioni sfidanti. I test numero 2, 6
e 8 sono tratti dai quesiti INVALSI (Istituto Nazionale per la Valutazione del Sistema
dell'Istruzione) elaborati per gli esami di Stato a conclusione del primo ciclo di
Istruzione italiani.
Il buffet è stato interamente preparato, organizzato e servito dagli alunni che
hanno anche creato delle torte a tema.
Il premio della squadra vincitrice consisteva in un attestato e in alcuni cd
musicali un musical creato in seguito alla rielaborazione de
Il piccolo principe )
donati al nostro comprensivo da una scuola partner.
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2.4 Valutazione
Tutti gli insegnanti delle discipline coinvolte nel progetto hanno valutato gli alunni, sia
in itinere, mediante verifiche formative, che al termine del percorso, mediante verifiche
sommative.
I coordinatori del progetto hanno anche creato una rubrica valutativa a inizio
percorso che ha permesso loro di osservare l’evoluzione dei singoli alunni della classe
organizzatrice e il raggiungimento degli obiettivi di competenza relativi alla
competenza focus prescelta e alle competenze accessorie.
Di seguito riportiamo la rubrica valutativa utilizzata (Table 1).
Dimensione della
Non
Parzialmente
competenza
raggiunta
raggiunta
Comprensione del
Non
compito
valore
ha
compreso
del
Raggiunta
il
Ha compreso la consegna,
Ha compreso il compito e
compito
ma ne ha sottovalutato il
il suo valore, accettando
valore. Talvolta si distrae
la
dalle consegne.
totalmente in gioco con
assegnato
sfida
e
mettendosi
entusiasmo
Strategie
risoluzione
di
È passivo e aspetta che i
Collabora
e
compagni lavorino al suo
compagni,
posto.
che qualcuno gli dia un
collaborazione
con
ma
i
attende
Collabora attivamente nel
gruppo:
è
solidale,
impegnato, creativo,
incarico da svolgere.
Autovalutazione
Non
è
interessato
ai
Di fronte alle difficoltà
Di volta in volta si ferma
compiti assegnati e non sa
aspetti che altri al suo
a
valutare
posto valutino le diverse
prodotto, ne riconosce i
passo le strategie d’azione
fasi
punti
personali e di gruppo
eventualmente elaborino
debolezza e modifica le
le correzioni opportune
proprie
alle strategie.
ottimizzare
passo
dopo
del
lavoro
ed
riflettere
di
su
quanto
forza
e
strategie
tempi
di
per
e
risultati.
Table 1
3. Conclusioni
In questo articolo è stata descritta un’attività didattica che sembra poter rappresentare
un buon esempio.
I punti di forza di questo lavoro sono stati:
La matematica è stata al centro di un evento interdisciplinare; ciò ha aumentato
la motivazione degli alunni e ha migliorato la disposizione verso questa
disciplina;
Sono state usate molteplici strategie e metodologie;
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È stato richiesto lavoro d’equipe sia fra studenti che fra insegnanti;
La scuola si è aperta alla realtà locale attraverso il coinvolgimento di ex alunni
dell’Istituto. Essi possono rappresentare anche un esempio positivo per gli
studenti;
In accordo con le indicazioni nazionali e sovranazionali, è stato abbracciato il
modello didattico per competenze.
La didattica per competenze sembra avere un forte valore educativo e formativo
perché sana la frattura esistente fra il mondo scolastico e il mondo reale. Essa, inoltre,
mette al centro dell’azione didattica l’intenzionalità degli educatori e la capacita di
lavorare in gruppo.
Tuttavia, si ritiene necessario abbinare a questo modello di insegnamento una
didattica tradizionale che permetta a tutti di acquisire conoscenze e abilità di base.
Il progetto è un esempio di buona pratica altamente inclusiva: esso ha avuto alto
valore istruttivo, formativo ed educativo e ha trattato una tematica molto importante
dando a tutti l’opportunità di mettere a frutto le proprie capacità, anche pratiche
(preparazione del buffet e della casetta).
Per attuare una didattica moderna ed innovativa, gli educatori devono prendere
coscienza dell’importanza del ruolo e programmare in modo coerente, intelligente,
praticabile ed equo, tenendo, cioè, in considerazione gli interessi degli alunni, le loro
inclinazioni e il contesto.
Solo così potremo raggiungere l’obbiettivo indicato dalla Strategia di Lisbona
che mira a trasformare l’Europa nell’
economia basata sulla conoscenza più
competitiva e dinamica del mondo .
Fonti
1. Castoldi M., Didattica Generale, Mondadori Università, Milano, 2010
2. Kilpatrick, W. H. The project method. Teachers College Record, 19, 319–335,
Columbia University, 1918
3. Maccario D., Insegnare per competenze, SEI, Torino, 2006.
4. Quartapelle F., Didattica per progetti IRRSAE Lombardia, Milano1999
5. Raccomandazione 2006/962/CE del Parlamento europeo e del Consiglio, del 18
dicembre
, relativa a competenze chiave per l’apprendimento permanente
(GU L 394 del 30.12.2006, pag. 10-18).
6. www.invalsi.it
7. http://www.scuolalodivecchio.it/matematica/
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